Stap 9: Geometrische figuur die het resultaat is wanneer een cube is snijden langs de zes diagonale vlakken van symmetrie
Rechtstreeks neer te kijken op de gezichten van de kubus, ziet men dat elk gezicht is verdeeld in vier schuine gelijkbenige driehoeken. De zijkanten van deze gelijkbenige driehoeken worden gevormd door:
- het snijpunt van twee vliegtuigen van symmetrie loodrecht op elkaar (met elk een verschillende kleur) met een zijde van de kubus, en
- een rand van de kubus.
Ook neer te kijken op de gezichten van de kubus zijn er de andere vier diagonale vlakken van symmetrie (elk van een verschillende kleur en niet dezelfde kleur als in het vorige lid genoemde) met elk vlak die afkomstig zijn van een rand van de kubus.
Dus, met inbegrip van het gezicht van de kubus, elk gezicht heeft op haar oppervlak vier identieke aangrenzende tetraëders. Aangezien drie van de gezichten van de tetraëder loodrecht op elkaar, die ze worden geclassificeerd als trirectangular tetrahedra (een tetraëder waar alle drie gezichten op een hoekpunt loodrecht op elkaar; twee weergaven van dergelijke een tetraëder worden weergegeven in de bovenstaande foto's). Één dergelijke tetraëder wordt ingevoegd in een gezicht van de kubus weergegeven in de bovenstaande foto's. Een dergelijke trirectangular-tetraëder is een schuine piramide (een piramide waar de top van de piramide is nog niet voorbij het centrum van de basis). Ook is van belang het feit dat een tetraëder trirectangular een veralgemening van de stelling van Pythagoras in drie dimensies met zijden van de driehoek vervangen door gebieden van de gezichten van de tetraëder biedt wanneer met vermelding van de stelling.
Zo concluderen wij dat de oorspronkelijke kubus kon worden gereconstrueerd op basis van 24 van deze identieke trirectangular tetrahedra.
De trirectangular tetraëder weergegeven in de afbeelding werd gebouwd door:
1. overwegende dat de relatieve afmetingen (ten opzichte van de lengte van de zijde van de kubus die is genomen als 1 eenheid en met behulp van een werkelijke lengte voor de rand van de kubus een paar millimeter kleiner dan die bij de bouw van de vliegtuigen van symmetrie van de kubus gebruikt om de rekening voor de dikte van de kartonnen voorraad) van de zijden van de driehoeken die deel van de vier gezichten van de tetraëder uitmaken zou;
2. puttend de vier driehoeken uit een stuk karton;
3. het uitsnijden van de vier driehoeken;
4. steken de juiste zijden van de driehoeken samen met duidelijke band te vormen van de tetraëder.
Voor deze trirectangular tetraëder zijn de relatieve afmetingen van de zijden van de vier driehoeken:
1. driehoek op het gezicht van de kubus: 1, √2/2, √2/2;
2. de driehoek op de diagonale vliegtuig bekeken wanneer direct neerkijkt op het gezicht van de kubus: 1, √3/2 √3/2;
3. twee driehoeken op diagonale vlakken loodrecht op het gezicht van de kubus: 1/2, √2/2, √3/2.
