Stap 8: Aanpassing van π gebruikt arctan
De volgende methode gaat met behulp van de functie van de trigonometrische arctangens om een oneindige reeks die naar π convergeren te maken. Het werd voor het eerst ontdekt door Madhava van Sangamagrama, die van 1340 tot 1425 leefde.
Deze stap gaat in wiskundige details. U kunt het overslaan als u wilt springen direct naar het algoritme.
Gebruiken calculus is het bewezen dat:
arctan(x) = x - (x³/3) + (x⁵/5) - (x⁷/7) + (x⁹/9) - (x¹¹/11)...
Hoe kan dit ons helpen? Nou de output van de arctangens in deze formule is in radialen en radialen worden gedefinieerd als de hoek die u krijgt wanneer u een volledige revolutie in 2π segmenten splitsen.
Daarna hebben wij een manier vinden om te hebben betrekking op de arctangens nodig formule met π. Tan(x) is de verhouding van de andere kant naar de aangrenzende kant in een schuine driehoek met hoek x, dus als we willen dat deze ratio 1, een mooi geheel afronden, dan de tegenovergestelde en aangrenzende zijden van de driehoek moet van gelijke lengte. Dit is een rechthoekige gelijkbenige driehoek, dus één hoek een rechte hoek is, en de andere twee moet gelijk zijn. We weten dat alle hoeken in een driehoeken moeten optellen tot π radialen (zoals dit is de overeenkomstige regel alle hoeken in een driehoek toevoegen tot 180 °), en die een hoek π/2 radialen (de rechte hoek is). Hieruit die we werken kunnen uit dat de andere twee hoeken tot π/2 radialen moeten toevoegen, moet dus elk radialen π/4. Dus daar hebben we het, voor de verhouding van de tegenovergestelde en aangrenzende zijde van een driehoek een, de hoek van de loodrechte driehoek moet radialen π/4, met andere woorden:
Tan(π/4) = 1
Zoals de arctangens is de inverse functie van tan volgt hieruit dat:
arctan(1) = π/4
Nu dingen beginnen te worden een beetje meer interessant. We weten uit de regel:
arctan(x) = x - (x³/3) + (x⁵/5) - (x⁷/7) + (x⁹/9) - (x¹¹/11)...
dat:
arctan(1) = 1 - (1³/3) + (1⁵/5) - (1⁷/7) + (1⁹/9) - (1¹¹/11)...
Als we vervangen dat in de vergelijking arctan(1) = π/4, krijgen we
Π/4 = 1 - (1³/3) + (1⁵/5) - (1⁷/7) + (1⁹/9) - (1¹¹/11)
wat vereenvoudigt om:
Π = 4 - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11)...
Tot slot hebben wij een formule perfect voor de berekening van π! Alles wat we moeten doen is nu implementeren in python.